筛法 2SLS 工具变量估计

基于筛法的工具变量估计器 SieveTSLS 基于两阶段最小二乘估计过程。用户必须指定 \(T\)、\(X\) 和 \(Y\) 的筛法基（Hermite 多项式或一组指示函数），以及要包含的基展开的元素数量。形式上，我们现在假设我们可以写出

\[\begin{split}Y =~& \sum_{d=1}^{d^Y} \sum_{k=1}^{d^X} \beta^Y_{d,k} \psi_d(T) \rho_k(X) + \gamma (X,W) + \epsilon \\ T =~& \sum_{d=1}^{d^T} \sum_{k=1}^{d^X} \beta^T_{d,k} \phi_d(Z) \rho_k(X) + \delta (X,W) + u\end{split}\]

其中 \(Y\) 的筛法基为 \(\{\psi_d\}\)，阶数为 \(d^Y\)；\(X\) 的筛法基为 \(\{\rho_k\}\)，阶数为 \(d^X\)；\(T\) 的筛法基为 \(\{\phi_d\}\)，阶数为 \(d^T\)；\(Z\) 是工具变量；\((X,W)\) 是 \(X\) 和 \(W\) 的水平拼接；\(u\) 和 \(\varepsilon\) 可能相关。每个 \(\psi_d\) 都是从 \(\dim(T)\) 到 \(\mathbb{R}\) 的函数，每个 \(\rho_k\) 都是从 \(\dim(X)\) 到 \(\mathbb{R}\) 的函数，每个 \(\phi_d\) 都是从 \(\dim(Z)\) 到 \(\mathbb{R}\) 的函数。

我们的目标是估计

\[\tau(\vec{t}_0, \vec{t}_1, \vec{x}) = \sum_{d=1}^{d^Y} \sum_{k=1}^{d^X} \beta^Y_{d,k} \rho_k(\vec{x}) \left(\psi_d(\vec{t_1}) - \psi_d(\vec{t_0})\right)\]

我们通过首先将 \(\psi_d(t_i)\) 线性投影到特征 \(\{\phi_d(z_i) \rho_k(x_i) \}\) 和 \((x_i,w_i)\) 上来估计每个函数 \(\E[\psi_d(T)|X,Z,W]\)。然后我们将 \(y_i\) 再次投影到这些估计的函数和 \((x_i,w_i)\) 上，得到估计值 \(\hat{\beta}^Y\)，其各个系数 \(\beta^Y_{d,k}\) 可用于返回 \(\tau\) 的估计值。